圏論学習中メモ
米田の補題まで理解できるように圏論の学習を進めていまして、メモを残すことで大分整理できてきた気がします。
圏論学習中メモ
射
- 対象 a,b があったとき f: a -> b のように対象間の矢印を射といい、このとき a を始対象、b を終対象という。また f: a -> b のとき cod(f)=b で dom(f)=a で射に対する始対象、終対象を表す。
- 対象 a があったとき Id_a: a -> a のように自分自身に向かう射を恒等射という
- 対象 a,b があり f: a-> b の射と g: b -> a の射があるとき、g を f の逆射といい、逆射をもつ射のことを同型射と呼び、その時の対象は同型と呼ぶので a と b は同型となる
圏
対象と射の集まり
圏と呼ばれるには結合律、単位律を満たす必要がある。
- 結合律: f: a->b, g: b->c, h:c->d ならば h◦(g◦f)=(h◦g)◦f が成り立つ。(合成の順序によらない)
- 単位率: 全ての対象は恒等射を持つ
- 一般的な圏はラテン語の太文字を使って圏 C、D などと表記される。
- 例えば、しりとりの圏の対象を文字、射を始対象が頭で終対象がお尻にくる単語とした場合、"り"と"ご"が対象なら"りんご"という射があり、"と"が対象なら"とまと"という写恒射がある。
- しりとりの圏については ↓ のスライドの説明が分かりやすかった
- https://www.slideshare.net/100005930379759/scala-scala
Hom 集合
- 圏に含まれる対象に対しての射の集合
- 圏 C の対象 X から対象 Y への射の集まりを Homc(X,Y)と書く
- 特定の対象に対しての Hom 集合を局所的に小さい圏(locally small)と呼ばれる、例えば Homc(X,Y)のように圏 C 内の対象 X から Y に限定した射の集まりは局所的に小さい圏となる。
順序集合
- 対象間の大小関係を比較できる集合
- 前順序、半順序、全順序の集合がある
- 前順序は反射律(集合 P の任意の対象 x に対して x≦x が成り立つ)と推移律(集合 P の任意の x,y,z に対し x≦y かつ y≦z ならば x≦z が成り立つ)の性質がある
- 半順序は前順序に加え反対象律(集合 P の任意の x,y に対し x≦y かつ y≦x ならば x=y が成り立つ)を満たす
- 全順序は半順序に加え全順序律(集合 P の任意の x,y に対し x≦y または y≦x が成り立つ)を満たす
可換
- 始点と終点が同一のものに対して別ルートがあること
- f: a -> b, g: b -> c, h: a -> c であれば g◦f = h となり可換である
積
- 対象 A,X,Y があり f:A->X で g:A->Y のとき f,g に対して可換となる X×Y を積とよぶ
- 積の普遍性: 任意の対象 A と射の族(添字付けされた元)fi:A->Xi が与えられたとき、任意の f:A->X に対して fi=f◦πi となるような πi:X->Xi が存在する
- 積は極限である
余積
- 積の矢印を逆にしたもの
- 対象 A,X,Y があり f:X->A で g:Y->A のとき f,g に対して可換となる X×Y を余積とよぶ
- 余積の不変性: 任意の対象 A と射の族(添字付けされた元)fi:xi->A が与えられたとき、任意の f:X->A に対して fi=f◦πi となるような πi:X->Xi が存在する
- 余積は余極限である
冪
- 任意の対象 X と A×X から B への任意の射(x:A × X -> B)に対して X から P への射 x'が存在し、p:(A×P)->B のとき x = p ◦ (id_a × x')を満たすとき対象 P が冪で射 p:(A×P)->B を評価射という。
等化子
- 任意の圏 C に対象 A,B と A から B への射として f:A->B,g:A->B があり f,g の等化子は対象 E と射 e:E->A から構成され f◦e=g◦e となる不変性をもつ
- f と g の等化子を構成する対象 E と射 e:E->A について、任意の対象 Z と射 z:Z->A について e◦u = z となる射 u:Z->E が一意に存在する
余等化子
- 任意の圏 C に対象 A,B と A から B への射として f:A->B,g:A->B があり f,g の等化子は対象 E と射 e:B->E から構成され e◦f=e◦g となる不変性をもつ
- f と g の余等化子を構成する対象 E と射 e:b->E について、任意の対象 Z と射 z:b->Z について u◦e = z となる射 u:E->Z が一意に存在する
モノイド
モノイド準同型
群
群の準同型
アーベル群
- 群の結合、単位元、逆元に加えて交換法則を持っている。
- 交換法則について a*b=b*a のように結合の順番を入れ替えても結果が一致するもののことを言う
集合の圏 Set
- 対象および射、射の合成をまとめて集合の圏 Set と定義されている。
関手
- 圏 C の対象、射の関係性をそのまま圏 D に移す射を関手という
- 例えば圏 C に f:X->Y の射が存在したとし、圏 C から圏 D への関手 F があったとしたら圏 D には F(f): F(X)->F(Y)の射が存在する。
- 関手は以下の性質がある(恒等射および射の合成を保存)
- 圏 C の対象 X と 恒等射 id について、F(id X) = id F(X)が成り立つ
- 圏 C の射 f,g の合成 f◦g と圏 C から圏 D への関手 F について、F(f◦g)=F(f)◦F(g)が成り立つ
- 半順序集合に対しての関手は移った後の圏でも順序を保っており可換図式といわれる
- 矢印を逆にした圏を双対圏と言い、双対圏の関手を反変関手という
- 反変関手との対比から、双対圏ではなく矢印を逆にしていない圏に対しての関手を共変関手と呼ばれる
- "圏 C 内の射"と"関手で移った先の圏 D 内での射"の対応関係により忠実、充満、充満忠実のものがある
hom 関手
- hom 関手には始対象を固定した hom 集合の関手である共変 hom 関手と終対象を固定した hom 集合の関手である反変 hom 関手がある
- 共変 hom 関手は圏 C から 集合の圏 Set への関手
- 始域を対象 A とし、終域を射 f:X->Y とすると ha(f): hom(A,X)->hom(A,Y)で f◦_:A->Y となる射の集合
- 始域を対象 A とし、終域を対象 X とすると ha(X)は A->X の射の集合
- 反変 hom 関手は圏 C から 集合の圏 Set への関手
- 終域を対象 A とし、始域を射 f:X->Y とすると ha(f): hom(X,A)->hom(Y,A)で _◦f:X->A となる射の集合
- 終域を対象 A とし、始域を対象 X とすると ha(X)は X->A の射の集合
自然変換
- 圏 C から圏 D への関手 F,G があったとし t が F から G への自然変換であれば以下の条件を満たす
- 圏 C の任意の対象 X に対し tx: F(X) -> G(X)となる
- 圏 C の任意の対象 X,Y におよび任意の射 f:X->Y に対し、t:F->G とし G(f)◦tX = tY◦F(f): F(X)->G(Y)が成り立つ(tX:F(X)->G(X), tY:F(Y)->G(Y),F(f):F(X)->F(Y),G(f):G(X)->G(Y)なので G(f)◦tx=tY◦F(f)=F(X)->G(Y))
- 圏 C から圏 D への関手 F,G があったとし t が F から G への自然変換であれば以下の条件を満たす
関手圏
- 関手を圏とし自然変換を射とする圏のことを関手圏と呼び、圏 C から圏 D への関手の圏は Fun(C,D)と表記する
J 型図式
- 圏 C 上の J 型図式とは、共変関手 D: J → C のことをいう
自然同値(もしくは自然同型)
- 関手圏の射と同型射(可逆)である自然変換を"自然同値"と呼び、関手圏の対象として同型であるような関手は"自然同値である"という
圏同値
- 2 つの圏 C,D とそれぞれの関手 F:C->D と G:D->C があったとき、F と G が圏同値ならば G◦F は圏 C での恒等射になり、F◦G は圏 D での恒等射になる
- 自然同値を ≅ で表すと G◦F ≅ id_c で F◦G ≅ id_d
- 関手 F: C -> D が圏同値の場合以下を満たしている
- 2 つの圏 C,D とそれぞれの関手 F:C->D と G:D->C があったとき、F と G が圏同値ならば G◦F は圏 C での恒等射になり、F◦G は圏 D での恒等射になる
随伴
- 2 つの圏 C,D とそれぞれの関手 F:C->D と G:D->C があり、圏 C の対象 c と圏 D の対象 d について射 f: c-> G(d)と射 h:F(c)->d があり、このとき任意の対象 c に対して対象 d が一意に決まり f ≅ h となり、G は F の右随伴で F は G の左随伴という
- F が G の左随伴で G が F の右随伴のとき F を左随伴関手、G を右随伴関手と呼び F⊣G と表記する
米田の補題
